TEORIA GRACELI DO ESPAÇO TEMPO FLUXOS E ONDAS.

 

 TEORIA GRACELI DO ESPAÇO TEMPO FLUXOS E ONDAS.

ONDE TAMBÉM SE TORNA DIMENSÕES  DE MOVIMENTOS , OU SEJA, O ESPAÇO E TEMPO NÃO É APENAS CURVO, MAS SE PROPAGAM EM FORMA DE FLUXOS CURVOS  E ONDAS CURVAS EM FLUXOS.

TORNANDO ASSIM, TAMBÉM DIMENSÕES NO SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL.

  SISTEMA GRACELI DIMENSIONAL FLUXO ESPAÇO TEMPO.

OU EM ONDAS COMO O TENSOR ONDAS G+ GRACELI.

COM ONDAS DE DENTRO PARA FORA.

DELTA  FÍSICO GRACELI  DE DE FLUXOS EM ELASTICIDADE. DENTRO DE UM SISTEMA COM ELATICIDADE.

ELASTICIDADE TOPOGEOMÉTRICA.

As equações de campo de Einstein (ECE) são o núcleo da teoria da RG. As ECE descrevem como a massa e a energia (como representadas no tensor de energia-momento) estão relacionados com a curvatura do espaço-tempo (como representado no tensor de Einstein). No índice de notação abstrata, as ECE são escritas como segue:

${\displaystyle G_{ab}+\Lambda g_{ab}={8\pi G \over c^{4}}T_{ab}}$

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ESPAÇO-TEMPO-FLUXOS-ONDAS GRACELI , E SISTEMA GRACELI  INFINITO-DIMENSIONAL

onde ${\displaystyle \scriptstyle G_{ab}}$ é o tensor de Einstein, ${\displaystyle \scriptstyle \Lambda }$ é a constante cosmológica, ${\displaystyle \scriptstyle c}$ é a velocidade da luz no vácuo e ${\displaystyle \scriptstyle G}$ é a constante gravitacional, a qual advém da lei da gravitação universal de Newton.

As soluções das ECE estão tensores métricos. As ECE, sendo equações diferenciais não-lineares para a métrica, são muitas vezes difíceis de resolver, havendo um certo número de estratégias utilizadas para sua resolução. Por exemplo, uma estratégia é começar com um ansatz (ou um "palpite") da métrica final, e refiná-lo até que ele seja específico o suficiente para suportar um sistema de coordenadas, mas ainda suficientemente geral para produzir um conjunto de equações diferenciais simultâneas com incógnitas que possam ser resolvidas. Tensores métricos resultantes de casos em que as equações diferenciais resultantes podem ser resolvidos exatamente para uma distribuição fisicamente razoável de energia-momento são chamados de soluções exatas. Exemplos de soluções exatas importantes incluem a solução de Schwarzschild e a solução Friedman-Lemaître-Robertson-Walker.

A aproximação EIH sobre outras referências (e.g. Geroch and Jang, 1975 - 'Motion of a body in general relativity', JMP, Vol. 16 Issue 1).

A matemática da relatividade geral refere-se a várias estruturas matemáticas e técnicas que são utilizadas no estudo e formulação da teoria da relatividade geral (RG) de Albert Einstein. As principais ferramentas utilizadas nesta teoria geométrica da gravitação são campos tensoriais definidos sobre uma variedade Lorentziana representando espaço-tempo. Este artigo é uma descrição geral da matemática da RG.

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O motivo da escolha de tensores

O princípio de covariância geral afirma que as leis da física devem ter a mesma forma matemática em todos os referenciais e tal foi um dos princípios centrais no desenvolvimento da relatividade geral. O termo 'covariância geral' foi utilizado na formulação inicial da RG, mas agora é referido por muitos como covariância de difeomorfismo. Embora covariância de difeomorfismo não seja a característica definidora da RG,^{[nota 1]} e permanecem controvérsias quanto ao seu estado presente na RG, a propriedade de invariância de leis físicas implicadas no princípio aliado ao fato de que a teoria é essencialmente de caráter geométrico (fazendo uso de geometrias que não são euclidianas) sugeriu que a RG fosse formulada usando a linguagem de tensores. Isto será discutido mais adiante.

Espaço-tempo como uma variedade

A maioria das abordagens modernas para a matemática da RG começam com o conceito de uma variedade. Mais precisamente, a construção física básica que representa a gravitação - um espaço-tempo curvo - é modelada por uma variedade Lorentziana de quatro dimensões, derivável (“suave”) e conectada. Outros descritores físicos são representados por vários tensores, discutidos abaixo.

A justificativa para a escolha de uma variedade como a estrutura matemática fundamental é refletir propriedades físicas desejáveis. Por exemplo, na teoria das variedades, cada ponto está contido em uma (não significando exclusiva) carta de coordenadas, e este gráfico pode ser considerado como representando o 'espaço-tempo local' em torno do observador (representado pelo ponto). O princípio da covariância de Lorentz local, que afirma que as leis da relatividade especial mantém-se localmente sobre cada ponto do espaço-tempo, presta um apoio adicional para a escolha de uma estrutura de variedade para representar o espaço-tempo, como localmente em torno de um ponto em uma variedade geral, a região “parece", ou se aproxima muito de um espaço de Minkowski (espaço-tempo plano).

A idéia de coordenar gráficos como "observadores locais que podem realizar medições na sua vizinhança” também faz sentido físico, dado que este é realmente como um coletor de dados físicos - localmente. Para problemas cosmológicos, um gráfico de coordenadas pode ser muito grande.

Estrutura local versus global

Uma distinção importante na física é a diferença entre as estruturas locais e globais. Medidas em física são realizadas em uma região relativamente pequena do espaço-tempo e esta é uma razão para estudar a estrutura local do espaço-tempo na RG, ao passo que a determinação da estrutura do espaço-tempo global é importante, especialmente em problemas cosmológicos.

Um problema importante na RG geral é dizer quando dois espaços-tempos são "o mesmo", pelo menos localmente. Este problema tem suas raízes na teoria de variedades onde determinar se duas variedades de Riemann da mesma dimensão são localmente isométricas ('localmente a mesma'). Este último problema foi resolvido e sua adaptação para a RG é chamado o algoritmo de Cartan-Karlhede.

Tensores na relatividade geral

Uma das consequências profundas da teoria da relatividade foi a abolição de sistemas de referências privilegiados. A descrição de fenômenos físicos não deve depender de quem faz a medição - um quadro de referência deve ser tão bom quanto qualquer outro. A relatividade especial demonstrou que nenhum referencial inercial era preferencial a qualquer outro referencial inercial, mas preferiu referenciais inerciais sobre quadros de referência não inerciais. A RG eliminou preferência por referenciais inerciais, mostrando que não há quadro de referência preferencial (só por inércia ou não) para descrever a natureza.

Qualquer observador pode fazer medições e as grandezas numéricas precisas obtidas dependem apenas do sistema de coordenadas usado. Isto sugeriu uma maneira de formular a relatividade usando "estruturas invariantes ', aquelas que são independentes do sistema de coordenadas (representadas pelo observador) usado, mas ainda tendo uma existência independente. A estrutura matemática mais adequado parecia ser um tensor. Por exemplo, quando se mede os campos elétricos e magnéticos produzidos por uma carga em aceleração, os valores dos campos dependerão do sistema de coordenadas utilizado, mas os campos são considerados como tendo uma existência independente, esta independência representada pelo tensor eletromagnético.

Matematicamente, tensores são operadores lineares generalizados - mapas multilineares. Como tal, as idéias de álgebra linear são empregadas para estudar tensores.

Em cada ponto ${\displaystyle \scriptstyle \,p}$ de uma variedade, o espaço tangente e cotangente à variedade nesse ponto podem ser construídos. Vetores (por vezes referidos como vetores contravariantes) são definidos como elementos do espaço tangente e covetores (às vezes denominados vetores covariantes, mas mais comumente vetores duais ou “um-formas”) são elementos do espaço cotangente.

Em ${\displaystyle \scriptstyle \,p}$ , estes dois espaços vetoriais podem ser utilizados para construir tensores do tipo ${\displaystyle \scriptstyle \,(r,\,s)}$, que são mapas multilineares de valor real que atuam sobre a soma direta de ${\displaystyle \scriptstyle \,r}$ cópias do espaço co-tangente com ${\displaystyle \scriptstyle \,s}$ cópias do espaço tangente. O conjunto de todos estes mapas multilineares forma um espaço vetorial, chamado espaço produto tensor do tipo ${\displaystyle \scriptstyle \,(r,\,s)}$ em ${\displaystyle \scriptstyle \,p}$ e denotado por ${\displaystyle \scriptstyle \,(T_{p})^{r}{}_{s}M}$. Se o espaço tangente é n-dimensional, pode ser mostrado que ${\displaystyle \scriptstyle \dim(T_{p})^{r}{}_{s}M\;=\;n^{r+s}}$.

Na literatura de RG, é convencional utilizar o componente sintaxe para tensores.

Um tensor do tipo ${\displaystyle \scriptstyle \,(r,\,s)}$ pode ser escrito como:

${\displaystyle T\;\!=\;\!{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{{b_{1}}\ldots {b_{s}}}{\frac {\partial }{\partial x^{a_{1}}}}\otimes \ldots \otimes {\frac {\partial }{\partial x^{a_{r}}}}\otimes dx^{b_{1}}\otimes \ldots \otimes dx^{b_{s}}}$

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ESPAÇO-TEMPO-FLUXOS-ONDAS GRACELI , E SISTEMA GRACELI  INFINITO-DIMENSIONAL

Onde ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\partial }{\partial x^{a_{i}}}}}$ é uma base para o espaço tangente i-ésimo e ${\displaystyle \scriptstyle dx^{b_{j}}}$ uma base para o j-ésimo espaço cotangente.

Como o espaço-tempo é assumido como sendo de quatro dimensões, cada índice de um tensor pode ser um de quatro valores. Assim, o número total de elementos que um tensor possui é igual a 4^R, onde R é a soma dos números de índices covariantes e contravariantes no tensor (um número chamado de classificação, rank, ou “posto” do tensor).

Equações de campo de Einstein

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Em física, a equação de campo de Einstein ou a equação Einstein é uma equação na teoria da gravitação, chamada relatividade geral, que descreve como a matéria gera gravidade e, inversamente, como a gravidade afeta a matéria. A equação do campo de Einstein se reduz à lei de Newton da gravidade no limite não-relativista, isto é, à velocidades baixas e campos gravitacionais pouco intensos.

Na equação, a gravidade se dá em termos de um tensor métrico, uma quantidade que descreve as propriedades geométricas do espaço-tempo tetradimensional. A matéria é descrita por seu tensor de energia-momento, uma quantidade que contém a densidade e a pressão da matéria. Estes tensores são tensores simétricos 4 x 4, de modo que têm 10 componentes independentes. Dada a liberdade de escolha das quatro coordenadas do espaço-tempo, as equações independentes se reduzem a 6. A força de acoplamento entre a matéria e a gravidade é determinada pela constante gravitacional universal.

Uma analogia para a curvatura do espaço-tempo causada por uma massa

Solução da equação de campo de Einstein

Uma solução da equação de campo de Einstein é certa métrica apropriada para a distribuição dada da massa e da pressão da matéria. Algumas soluções para uma situação física dada são com as que se seguem.

Distribuição de massa esférica simétrica e estática

A solução para o vazio ao redor de uma distribuição de massa esférica simétrica e estática é a métrica de Schwarzschild e métrica de Kruskal-Szekeres. Se aplica a uma estrela e conduz à previsão de um horizonte de eventos além do qual não se pode observar. Prevê a possível existência de um buraco negro de massa dada ${\displaystyle M}$ da qual não pode ser extraída nenhuma energia, no sentido clássico do termo (isto é, não é válido para o domínio da Mecânica Quântica - ver radiação de Hawking).

Ver também: Raio de Schwarzschild e Buraco negro de Schwarzschild

Massa de simetria axial em rotação

A solução para o espaço vazio ao redor de uma distribuição de massa de simetria axial em rotação é a métrica de Kerr. Se aplica a uma estrela que gire e conduz à previsão da existência possível de um buraco negro em rotação de massa dada ${\displaystyle M}$ e momento angular ${\displaystyle J}$, do qual a energia rotacional pode ser extraída.

Ver também: Buraco negro em rotação

Universo isotrópico e homogêneo

A geometria geral do universo é determinada de acordo com as equações de Friedmann e o parâmetro cosmológico Ômega se este é maior, menor ou igual a 1. De cima para baixo: um universo esférico ou fechado com curvatura positiva, um universo hiperbólico com curvatura negativa e um universo plano com curvatura nula.

A solução para um Universo isotrópico e homogêneo, totalmente com densidade constante e de uma pressão insignificante, é a Métrica de Friedmann-Robertson-Walker. Se aplica ao Universo em sua totalidade e conduz a diversos modelos de sua evolução que predizem um Universo em expansão. Em 2016, uma equipe de cosmólogos mostrou que o universo é "isotrópico", ou o mesmo, não importa maneira que é observado: Não há eixo de rotação ou qualquer outra direção especial no espaço.^[1]

Ver também: Big Bang e Métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

Forma matemática da equação do campo de Einstein

A equação do campo de Einstein descreve como o espaço-tempo se curva pela matéria e, reciprocamente, como a matéria é influenciada pela curvatura do espaço-tempo, ou digamos, como a curvatura dá lugar à gravidade.

A equação do campo se apresenta como se segue:

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$

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ESPAÇO-TEMPO-FLUXOS-ONDAS GRACELI , E SISTEMA GRACELI  INFINITO-DIMENSIONAL

onde o tensor ${\displaystyle G_{\mu \nu }\ }$ é a curvatura de Einstein, uma equação diferencial de segunda ordem em termos do tensor métrico ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$, e ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ é o tensor de energia-momento. A constante de acoplamento se dá em termos de ${\displaystyle \pi }$ é Pi, ${\displaystyle c}$ é a velocidade da luz e ${\displaystyle G}$ é a constante gravitacional.

O tensor da curvatura de Einstein se pode escrever como

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{g_{\mu \nu }R \over 2}}$

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onde além disso ${\displaystyle R_{\mu \nu }\ }$ é o tensor de curvatura de Ricci, ${\displaystyle R}$ é o escalar de curvatura de Ricci e ${\displaystyle \Lambda }$ é a constante cosmológica.

A equação do campo portanto também pode apresentar-se como se segue:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{g_{\mu \nu }R \over 2}+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$

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${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ é um tensor simétrico 4 x 4, assim que tem 10 componentes independentes. Dada a liberdade de escolha das quatro coordenadas do espaço-tempo, as equações independentes se reduzem em número a 6.

Estas equações são a base da formulação matemática da relatividade geral.

Interpretacão geométrica da Equação de Einstein

A Teoria da relatividade mostra que a massa dos corpos depende do observador, pois esta varia com sua velocidade aparente, tal como no conceito de simultaneidade, e portanto também o espaço que se observa (formado por todos os eventos simultâneos). Assim, a equação de Einstein pode enunciar-se também afirmando que para cada observador, a curvatura escalar ${\displaystyle \kappa }$ do espaço é proporcional à densidade aparente ${\displaystyle \rho }$:

${\displaystyle \kappa =16\cdot G\pi c^{-2}\rho \ }$

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onde c = 3 × 10¹⁰ [cm s^-1] é a velocidade da luz e G = 6,67 × 10^-8 [cm³ s^-2 g^-1] é a constante da gravitação universal. De acordo com o significado geométrico da curvatura escalar, esta igualdade afirma que em uma esfera de massa M e densidade constante, o excesso radial (a diferença entre o raio real e o raio que corresponderia na geometria euclidiana a uma esfera de igual área) é igual a

${\displaystyle \Delta R=GM/(3c^{2})}$

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Por exemplo, no caso da Terra o excesso radial é de 0,15 cm e no caso do Sol é de aproximadamente 500 metros.

É notável que, esta equação, que introduz mínimas correções nas fórmulas da geometria euclidiana, atinja quase todas as equações conhecidas da Física macroscópica. Com efeito, quando a velocidade da luz c tende ao infinito, dela se derivam a Lei newtoniana da Gravitação, a Equação de Poisson e, portanto, o caráter atrativo das forças gravitacionais, as equações da mecânica dos fluidos (equação de continuidade e equações de Euler), as leis de conservação da massa-energia e do momento, o caráter euclidiano do espaço, etc..

Igualmente se derivam todas as leis de conservação relativísticas, e que a existência de campos gravitacionais e de massa só são possíveis quando o espaço tem dimensão maior que 2. Mais ainda, se supõe que o espaço tem dimensão 4 (as três que vemos habitualmente mais uma pequeníssima dimensão circular extra, aproximadamente do tamanho do chamado comprimento de Planck ~ ${\displaystyle 10^{-33}}$ cm) da equação de Einstein se deduzem a teoria clássica do electromagnetismo: as equações de Maxwell e, portanto, a lei de Coulomb, a Conservação da carga elétrica e a lei de Lorentz.

Equações de Einstein-Maxwell

Se o tensor energia-momento ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ é aquele de um campo eletromagnético, i.e. se o tensor momento-energia eletromagnético

${\displaystyle T_{ab}=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}(F_{a}{}^{s}F_{sb}+{1 \over 4}F_{st}F^{st}g_{ab})}$

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ESPAÇO-TEMPO-FLUXOS-ONDAS GRACELI , E SISTEMA GRACELI  INFINITO-DIMENSIONAL

é usado, então as equações de campo de Einstein são chamadas equações Einstein-Maxwell:

${\displaystyle R_{ab}-{1 \over 2}Rg_{ab}={\frac {8\pi G}{c^{4}\mu _{0}}}(\,F_{a}{}^{s}F_{sb}+{1 \over 4}F_{st}F^{st}g_{ab})\ }$

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